Utregning av forventningsverdi og varians i poissonfordeling ved hjelp av momentgenererende funksjoner

Anta at \(X\) er poissonfordelt med parameter \(\lambda.\) Bruk momentgenererende funksjoner til å bestemme forventningsverdi og varians for \(X.\)

Utregning

For å løse denne oppgaven trenger vi å vite momentgenererende funksjon for en poissonfordelt variabel eller man må finne denne ved å benytte definisjonen av momentgenererende funksjon. På temasiden «Momentgenererende funksjon for poissonfordelt variabel» finnes en detaljert utregning av momentgenererende funksjon for en poissonfordeling. Resultatet der gir at \[M_X(t) = e^{\lambda (e^t-1)}.\] Som diskutert på temasiden «Finne momenter fra momentgenererende funksjon» finner vi \(r\)-te ordens moment til \(X\) ved å derivere \(M_X(t)\) \(r\) ganger ved hensyn på \(t\) og deretter sette \(t\) lik null. Vi starter med å derivere en gang med hensyn på \(t,\) \[M_X^\prime(t) = e^{\lambda (e^t-1)} \cdot \lambda e^t.\] Første ordens moment blir dermed \begin{align}\mu_1&=\text{E}[X]\\ &= M_X^\prime(0)\\ &= e^{\lambda (e^0-1)}\cdot \lambda e^0\\ &= \lambda.\end{align} Vi har altså at \(\text{E}[X]=\lambda.\) For å finne andre ordens moment for \(X\) trenger vi også den andrederiverte av \(M_X(t).\) Ved å ta utgangspunkt i uttrykket vi har for \(M_X^\prime (t)\) og bruke produktregelen for derivasjon får vi \begin{align}M_X^{\prime\prime}(t) &= e^{\lambda (e^t-1)}\cdot \lambda e^t \lambda e^t + e^{\lambda (e^t-1)} \lambda e^t\\ &= e^{\lambda (e^t-1)} \lambda e^t (1+\lambda e^t).\end{align} Andre ordens moment for \(X\) blir da \begin{align}\mu_2&=\mbox{E}[X^2]\\ &= M_X^{\prime\prime}(0)\\ &= e^{\lambda(e^0-1)}\lambda e^0 (1+\lambda e^0)\\ &= \lambda (1+\lambda).\end{align} Ved å bruke at varians kan uttrykkes ved forventningsverdier får vi dermed \begin{align}\text{Var}[X] &= \text{E}[X^2] - \text{E}[X]^2\\ &= \lambda (1+\lambda) - \lambda^2\\ &= \lambda + \lambda^2 - \lambda^2 \\ &= \lambda.\end{align} Vi har dermed funnet at \[\underline{\underline{\text{E}[X]=\lambda~~~\text{og}~~~\text{Var}[X]=\lambda}}.\]