Finne momenter fra momentgenererende funksjon
Regneregel
La \(X\) være en stokastisk variabel. Da er \(r\)-te ordens moment til \(X\) definert som \(\mu_r=\text{E}\!\left[X^r\right].\) Momentgenererende funksjon til \(X\) er definert som \(M_X(t)=\text{E}\!\left[e^{tX}\right].\) Her ser vi på hvordan man kan regne ut momenter til \(X\) ved å ta utgangspunkt i den momentgenerende funksjon \(M_X(t).\)
Finne momenter fra momentgenererende funksjon
Vi starter med teoremet som angir hvordan man kan finne momenter fra den momentgenererende funksjon.
Kommentarer
For å regne ut \(\text{E}\left[ X^r\right]\) skal man altså først derivere funksjonen \(M_X(t)\) \(r\) ganger med hensyn på \(t\), slik at man får et uttrykk for \(M_X^{(r)}(t)\), og deretter sette \(t=0\) inn i dette uttrykket.
\(\text{E}\left[ X^r\right]\) kalles \(r\)-te ordens moment til \(X\). Man kan dermed si at \(M_X(t)\) genererer momentene til \(X\) og dette er bakgrunnen for at \(M_X(t)\) kalles den momentgenererende funksjon for \(X\).