Varians uttrykt ved forventningsverdier

Regneregel

Når man skal regne ut variansen til en stokastisk variabel kan man selvfølgelig ta utgangspunkt i definisjonen av varians, men vanligvis får man enklere regning dersom man i stedet benytter regneregelen som diskuteres på denne temasiden. Dette gjelder både dersom man skal regne ut en tallverdi for en varians og dersom man ønsker å utlede en formel for variansen.

Varians uttrykt ved forventningsverdier

Vi starter med å formulere teoremet som uttrykker variansen ved hjelp av to forventningsverdier.

Varians uttrykt ved forventningsverdier

La \(\mu=\text{E}[X]\) betegne forventningsverdien til \(X\). Fra definisjonen av varians har vi da

\[ \begin{align} \text{Var}[X] &= \text{E}\!\left[ (X-\mu)^2\right]\\ &= \text{E}\!\left[ X^2 - 2\mu X + \mu^2\right]. \end{align} \]

Siden uttrykket \(X^2-2\mu X+\mu^2\) er en lineær funksjon av de to stokastiske variablene \(X^2\) og \(X\), får man ved å benytte regneregler for lineære funksjoner av stokastiske variabler at

\[ \begin{align} \text{Var}[X] &= \text{E}\!\left[X^2\right] + \text{E}[- 2\mu X] + \text{E}[\mu^2]\\ &= \text{E}\!\left[X^2\right] - 2\mu\text{E}[X]+\mu^2, \end{align} \]

og siden \(\mu=\text{E}[X]\) har vi dermed at

\[ \begin{align} \text{Var}[X] &= \text{E}\!\left[ X^2\right] - 2\text{E}[X]^2 + \text{E}[X]^2\\ &= \text{E}\!\left[ X^2\right] - \text{E}[X]^2, \end{align} \]

og teoremet er bevist.

Kommentar

Dersom man vil benytte denne formelen til å regne ut en varians må man først regne ut \(\text{E}[X]\) og \(\text{E}\!\left[ X^2\right]\), og så sette disse inn i regneregelen formulert i teoremet for å bestemme \(\text{Var}[X]\).