Kovarians mellom lineære funksjoner
Regneregel
Anta at vi har definert en eller flere stokastiske variabler og at vi ønsker å regne ut kovariansen mellom to lineære funksjoner av disse variablene. På temasiden du ser på nå formulerer vi regneregler som gjelder for en slik situasjon. Ved å bruke disse regnereglene kan man finne et forenklet uttrykk for kovariansen mellom alle lineære funksjoner av stokastiske variabler.
Sammenheng mellom kovarians og varians
Kommentar
Kovariansen mellom \(X\) og seg selv er altså lik variansen til \(X\). Dette betyr også at kovariansen som begrep kan sees på som en generalisering av varians.
Kovarians er symmetrisk
Følgende teorem sier at kovarians er en symmetrisk egenskap.
Kovarians mellom lineære funksjoner
Vi formulerer så et teorem som angir tre regneregler for lineære funksjoner av stokastiske variabler.
Kommentarer til teoremet
Siden kovarians er en symmetrisk egenskap, se teorem lenger oppe på denne temasiden, følger det fra dette siste teoremet at vi også har
- \(\text{Cov}[X,a] = 0,\)
- \(\text{Cov}[X,aY] = a\text{Cov}[X,Y],\)
- \(\text{Cov}[X,Y+Z] = \text{Cov}[X,Y] + \text{Cov}[X,Z].\)
Vi kan oppsummere dette ved å si at kovariansen mellom enhver stokastisk variabel og en konstant er lik null, og at kovarians-operatoren er lineær i hvert argument.
Kovarians mellom en sum og en stokastisk variabel
Den siste egenskapen i teoremet over kan generaliseres til en situasjon hvor en har en sum av flere stokastiske variabler. Vi formulerer dette som et teorem. Vi gir her ikke noe bevis for dette teoremet, men det kan bevises tilsvarende som vi gjorde for den siste egenskapen i teoremet over.
Kommentarer til teoremet
Dette teoremet sier at et summetegn i første argument av en kovarians kan settes utenfor kovariansoperatoren. Siden kovarians er symmetrisk i de to argumentene vil man også få at
\[ \text{Cov}\!\left[Y,\sum_{i=1}^n X_i\right] = \sum_{i=1}^n \text{Cov}[Y,X_i]. \]
Vi ser altså at et summetegn i andre argument av en kovarians også kan settes utenfor kovariansoperatoren. Hvis vi har stokastiske variabler \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) og \(Y_1,Y_2,\ldots,Y_m\) kan vi dessuten kombinere disse to resultatene. Vi får da
\[ \text{Cov}\!\left[\sum_{i=1}^nX_i,\sum_{j=1}^mY_j\right] = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \text{Cov}[X_i,Y_j], \]
men før man setter to summetegn utenfor kovariansoperatoren, slik vi har gjort her, er det viktig at man passer på å benytte forskjellige symboler for summevariablene i de to summene.