Kovarians uttrykt ved forventningsverdier

Regneregel

Når man skal regne ut kovariansen mellom to stokastiske variabler kan man selvfølgelig ta utgangspunkt i definisjonen av kovarians, men vanligvis får man enklere regning dersom man i stedet benytter regneregelen som diskuteres på denne temasiden. Dette gjelder både dersom man skal regne ut en tallverdi for en kovarians og dersom man ønsker å utlede en formel for kovariansen.

Kovarians uttrykt ved forventningsverdier

Vi starter med å formulere teoremet som uttrykker kovariansen ved hjelp av forventningsverdier.

Kovarians uttrykt ved forventningsverdier

La \(\mu_X=E[X]\) betegne forventningsverdien til \(X\) og la \(\mu_Y=E[Y]\) betegne forventningsverdien til \(Y\). Fra definisjonen av kovarians har vi da

\[ \begin{align} \text{Cov}[X,Y] &= E\left[ (X-\mu_X) (Y-\mu_Y\right]\\ &= E\left[ XY - \mu_X Y - \mu_Y X + \mu_X \mu_Y\right]. \end{align} \]

Siden uttrykket \(XY - \mu_X Y - \mu_Y X + \mu_X \mu_Y\) er en lineær funksjon av de tre stokastiske variablene \(XY\), \(X\) og \(Y\), får man ved å benytte regneregler for lineære funksjoner av stokastiske variabler at \[\text{Cov}[X,Y] = E[XY] - \mu_X E[Y] - \mu_Y E[X] + \mu_X \mu_Y,\] og siden \(\mu_X=E[X]\) og \(\mu_Y=E[Y]\) har vi dermed at

\[ \begin{align} \text{Cov}[X,Y] &= E[ XY] - E[X] E[Y]\\ &- E[Y] E[X] + E[X] E[Y]\\ &= E[ XY] - E[X] E[Y], \end{align} \]

og teoremet er bevist.

Kommentar

Dersom man vil benytte denne formelen til å regne ut en kovarians må man først regne ut \(\text{E}[X],\) \(\text{E}[Y]\) og \(\text{E}[XY]\), og så sette disse inn i regneregelen formulert i teoremet for å bestemme \(\text{Cov}[X,Y].\)