Sum av uavhengige geometrisk fordelte variabler

Regneregel

En sum av uavhengige og geometrisk fordelte variabler som alle har samme parameter \(p\) blir negativ geometrisk fordelt. På temasiden du ser på nå formulerer vi dette resultatet som et teorem og bruker definisjonene av geometrisk og negativ binomiske fordelinger samt definisjonen av en Bernoulli forsøkrekke til å bevise resultatet.

Sum av uavhengige geometrisk fordelte variabler

Vi formulerer først resultatet som et teorem og beviser etterpå resultatet.

Sum av uavhengige geometrisk fordelte variabler

La \(X_1,X_2,\ldots\) være uendelig mange uavhengige stokastiske variabler og anta at alle disse \(X_i\)-ene er geometrisk fordelte med samme parameterverdi \(p.\) Den \(n\) første av disse \(X_i\) benyttes i teoremet, mens de øvrige definerer vi bare for å kunne formulere dette beviset. Ut fra definisjonen av geometrisk fordeling har vi at for hver \(i=1,2,\ldots\) er \(X_i\) lik antall forsøk inntil den første suksessen i en Bernoulli forsøksrekke der sannsynligheten for suksess i hvert forsøk er lik \(p.\) Vi benytter så disse \(X_i\)-ene til å definere en ny uendelig forsøksrekke der hvert forsøk gir enten fiasko eller suksess. I denne nye forsøksrekken definerer vi at forsøk nummer \(X_1,\) \(X_1+X_2,\) \(X_1+X_2+X_3\) og så videre alle gir suksess, mens alle de øvrige forsøkene gir fiasko. Siden vi har antatt at de stokastiske variablene \(X_1,X_2,\ldots\) er uavhengige vil den nye forsøksrekken vi har konstruert være en Bernoulli forsøksrekke hvor sannsynligheten for suksess i hvert forsøk er lik \(p.\) Ved å observere at \(Y=\sum_{i=1}^n X_i\) er lik antall forsøk inntil suksess nummer \(n\) i den nye forsøksrekken, gir definisjonen av negativ binomisk fordeling at \(Y\) er negativ binomisk fordelt med parametre \(k=n\) og \(p.\)

Kommentar

Man bør merke seg at teoremet over kun gjelder når alle \(X_i\)-ene er geometrisk fordelt med samme verdi for parameteren \(p.\) Det finnes ikke noe tilsvarende resultat som sier hvilken fordeling man får dersom man har en sum av uavhengige geometrisk fordelte variabler med forskjellige verdier for parameteren \(p.\)