Binomisk fordeling som tilnærming til hypergeometrisk fordeling

Regneregel

Anta at \(X\) er hypergeometrisk fordelt med parametre \(N,\) \(k\) og \(n.\) Når \(n\) er liten i forhold til \(N\) vil da \(X\) være tilnærmet binomisk fordelt med parametre \(n\) og \(p=\frac{k}{N}.\) Dette resultatet kan man intuitivt forstå ut fra definisjonene av binomisk og hypergeometrisk fordeling. Man kan også vise resultatet matematisk.

Binomisk som tilnærming til hypergeometrisk fordeling

Vi formulerer først et teorem som sier at punktsannsynligheten til en hypergeometrisk fordeling konvergerer mot punktsannsynligheten i en binomisk fordeling når \(N,k\rightarrow\infty\) og \(\frac{k}{N}\) holdes konstant. Deretter diskuterer vi hvorfor dette resultatet er intuitivt rimelig ut fra definisjonene av hypergeometrisk og binomisk fordeling. Til slutt gir vi et matematisk bevis for resultatet i teoremet.

Intuisjon

Teoremet sier essensielt at en hypergeometrisk fordeling er tilnærmet lik en binomisk fordeling når \(N\) er mye større enn \(n.\) For å se at dette er intuitivt rimelig må man starte med å huske definisjonen av en hypergeometrisk fordeling. \(X\) er antall røde kuler som man får når man tilfeldig trekker \(n\) kuler uten tilbakelegging fra en urne som før man starter å trekke har \(k\) røde kuler og \(N-k\) blå kuler. Dersom totalt antall kuler i urna, \(N,\) er mye større enn det antall kuler man trekker ut, \(n,\) vil det være lite viktig om man trekker med eller uten tilbakelegging. Selv om man trekker med tilbakelegging vil det være lite sannsynlig at man trekker ut samme kule mer enn en gang. Man vil dermed med god tilnærming kunne regne som om man trekker med tilbakelegging, og dersom man trekker med tilbakelegging vil de \(n\) trekningene bli uavhengige av hverandre og man vil i hver trekning ha en sannsynlighet \(p=\frac{k}{N}\) for å trekke en rød kule. Dermed vil man ha oppfylt kravene som definerer en binomisk fordeling.

Binomisk som tilnærming til hypergeometrisk fordeling

Bevis av dette teoremet er IKKE innenfor pensum i TMA4240/TMA4245, men for den interesserte leser inkluderer vi likevel et bevis.

For å bevise teoremet setter vi \(p=\frac{k}{N}\Leftrightarrow k=Np\) og ser hva som skjer når vi da lar \(N\) gå mot uendelig. For den minste mulige verdien for \(X\) får vi \begin{align}&\max(0,n-N+k) = \max(0,n-N+Np)\\ &~~~~=\max(0,n-N(1-p)) \rightarrow 0.\end{align} For den største mulige verdien for \(X\) får vi tilsvarende \begin{align}\min(k,n) &= \min(Np,n)\rightarrow n.\end{align} De mulige verdiene for \(X\) blir dermed i grensen lik \(x=0,1,2,\ldots,n,\) som angitt i teoremet.

For å se hva som skjer med punktsannsynligheten starter vi med å skrive ut binomialkoeffisientene ved hjelp av fakulteter, \begin{align}&h(x;N,k,n) = \frac{\binom{k}{x}\binom{N-k}{n-x}}{\binom{N}{n}}\\[0.1cm] &~~~~= \frac{\frac{k!}{x! (k-x)!} \cdot \frac{(N-k)!}{(n-x)! (N-k-(n-x))!}}{\frac{N!}{n! (N-n)!}}\\[0.1cm] &= ~~~~\frac{n!}{x! (n-x)!} \cdot \frac{\frac{k!}{(k-x)!}}{\frac{N!}{(N-x)!}} \cdot \frac{\frac{(N-k)!}{(N-k-(n-x))!}}{\frac{(N-x)!}{(N-n)!}},\end{align} hvor vi i den siste overgangen ganget med \((N-x)!\) i teller og nevner. Ved å benytte at \((N-x)!=(N-n+(n-x))!\) får vi dermed at \begin{align}&h(x;N,k,n) = \frac{n!}{x! (n-x)!} \cdot \frac{\frac{k!}{(k-x)!}}{\frac{N!}{(N-x)!}} \cdot \frac{\frac{(N-k)!}{(N-k-(n-x))!}}{\frac{(N-n+(n-x))!}{(N-n)!}}\\[0.1cm] &~~~~=\binom{n}{x} \frac{\prod_{r=1}^x (k-x+r)}{\prod_{r=1}^x (N-x+r)} \cdot \frac{\prod_{r=1}^{n-x} (N-k-(n-x)+r)}{\prod_{r=1}^{n-x} (N-n+r)}\\[0.1cm] &~~~~=\binom{n}{x} \prod_{r=1}^x \frac{(k-x+r)}{(N-x+r)} \cdot \prod_{r=1}^{n-x} \frac{(N-k-(n-x)+r)}{(N-n+r)}.\end{align} Vi studerer så hva som skjer med faktoren \(\frac{k-x+r}{N-x+r}\) i grensen når \(N,k\rightarrow\infty\) slik at \(\frac{k}{N}=p\) er konstant. Vi starter med å sette inn \(k=Np,\) \begin{align}\lim_{\begin{array}{c}N,k\rightarrow\infty\\\frac{k}{N}=p\end{array}} \frac{k-x+r}{N-x+r} &= \lim_{N\rightarrow\infty} \frac{Np-x+r}{N-x+r} = p.\end{align} For faktoren \(\frac{N-k-(n-x)+r}{N-n+r}\) får vi tilsvarende \begin{align}&\lim_{\begin{array}{c}N,k\rightarrow\infty\\\frac{k}{N}=p\end{array}} \frac{N-k-(n-x)+r}{N-n+r} =\lim_{N\rightarrow\infty} \frac{N-Np-(n-x)+r}{N-n+r}\\ &~~~~= \lim_{N\rightarrow\infty} \frac{N(1-p)-(n-x)+r}{N-n+r}\\ &~~~~=1-p.\end{align} Fra uttrykket vi fant for \(h(x;N,k,n)\) over får vi dermed at \begin{align}&\lim_{\begin{array}{c}N,k\rightarrow\infty\\\frac{k}{N}=p\end{array}} h(x;N,k,n) = \binom{n}{x}\left(\prod_{r=1}^x p\right) \left(\prod_{r=1}^{n-x}(1-p)\right)\\ &~~~~= \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}\\[0.1cm] &~~~~= b(x;n,p),\end{align} og resultatet i teoremet er dermed bevist.