Punktsannsynlighet

Vi starter med å definere hva vi skal mene med punktsannsynligheten til en stokastisk variabel \(X.\)

Notasjon

Merk at \(P(X=x)\) er en kort skrivemåte for sannsynligheten for den hendelsen som består av alle enkeltutfall \(e\) i utfallsrommet \( S\) som gir \(X(e)=x\). Matematisk kan dette skrives som \[P(X=x) = P(\{ e\in S\ |\ X(e)=x\}).\]

I uttrykket over betegner stor \(X\) en stokastisk variabel, mens liten \(x\) angir en mulig verdi for den stokastiske variabelen. Liten \(x\) er altså en vanlig matematisk variabel slik man er vant med fra matematikk.

Det benyttes ulike notasjoner for punktsannsynligheten for en diskret stokastisk variabel \(X\). De to mest vanlige er \(f(x)=P(X=x)\), som benyttes på denne siden, og \(f_X(x)=P(X=x)\). I notasjonen \(f_X(x)\) minner indeksen \(X\) oss på at dette er punktsannsynligheten for den stokastiske variabelen \(X\). I situasjoner hvor vi har flere stokastiske variabler kan det være nyttig å bruke en slik notasjon for å holde punktsannsynlighetene for de ulike stokastiske variablene fra hverandre. Punktsannsynlighetene for tre stokastiske variabler \(X\) og \(Y\) og \(Z\) vil da skrives som henholdsvis \(f_X(x)\), \(f_Y(y)\) og \(f_Z(z).\)

Kommentar

Merk at sannsynligheten for enhver hendelse som kan spesifiseres ved hjelp av den diskrete stokastiske variabelen \(X\) kan beregnes fra punktsannsynligheten \( f(x)\). Vi har for eksempel at \[P(X \leq x) = \sum_{z\leq x} f(z)\] der summen er over alle verdier som \( X\) kan ta som er mindre enn eller lik tallet \(x\).

Egenskaper til en punktsannsynlighet

En punktsannsynlighet \(f(x)\) for en diskret stokastisk variabel \(X\) vil alltid ha følgende tre egenskaper:

• \( f(x) \geq 0\)
• \(\sum_x f(x) = 1\)
• \(f(x) = P(X=x)\)

For å visualisere en punktsannsynlighet er det vanlig å benytte et stolpediagram eller et sannsynlighetshistogram. Figur 1 og 2 viser henholdsvis stolpediagram og sannsynlighetshistogram for en stokastiske variabel \(X\) med punktsannsynlighet