Fra \(f(x)\) til \(F(x)\) for diskret stokastisk variabel
Eksempel
Vi har en formulert en generell regneregel for sammenhengen mellom en fordeling \(f(x)\) og tilhørende kumulativ fordeling \(F(x)\). På denne siden anvendes denne regneregelen for en diskret stokastisk variabel til å finne kumulativ fordeling \(F(x)\) når punktsannsynligheten \(f(x)\) er kjent.
Finn punktsannsynlighet når kumulativ fordeling er oppgitt
Anta at \(X\) er en diskret stokastisk variabel med punktsannsynlighet
\[ f(x)=p(1-p)^{x-1}~~\mbox{for $x=1,2,\ldots$} \]
der \(p\in (0,1)\).
Finn da kumulativ fordeling for \(X\), \(F(x)\).
Illustrasjon av \(f(x)\)
Figur 1 viser den oppgitte punktsannsynligheten \(f(x)\) når \(p=0.25.\)
Kommentar
Man kan merke seg at den oppgitte punktsannsynligheten betyr at \(X\) er geometrisk fordelt med parameter \(p\).
Utregning
For å finne \(F(x)\) kan man benytte seg av den generelle sammenhengen mellom \(f(x)\) og \(F(x)\). For \(x=1,2\ldots\) får vi
\[ \begin{align} F(x) &= \sum_{t=1}^x f(t) \\ &= \sum_{t=1}^x p(1-p)^{t-1}\\ &= p\sum_{t=1}^x (1-p)^{t-1}\\ &=p\sum_{t=0}^{x-1} (1-p)^t. \end{align} \]
Man kan så benytte summeformelen for en endelig geometrisk rekke, som vi kjenner fra matematikk. For \(a\in (0,1)\) sier denne at
\[ \sum_{k=0}^n a^k = \frac{1 - a^{n+1}}{1-a}. \]
Ved å benytte denne med \(a=1-p\) og \(n=x-1\) får vi
\[ \begin{align} F(x) &= p\cdot \frac{1-(1-p)^{x-1+1}}{1-(1-p)}\\ &= p\cdot \frac{1-(1-p)^x}{p}\\ &= 1 - (1-p)^x \end{align} \]
for \(x=1,2,\ldots\). Vi har nå funnet en formel for \(F(x)\) for \(x=1,2,\ldots\), men funksjonen \(F(x)\) skal være definert for alle \(x\in\mathbf{R}.\) Vi må derfor finne en formel som gjelder for alle \(x\in\mathbf{R}\), noe som egentlig bare en snakk om å benytte en passende notasjon.
For \(x< 1\) har vi åpenbart at \[F(x)=P(X\leq x)=0,\] siden den minste mulige verdien for \(X\) er \(1\). Dersom man lar \(\lfloor x\rfloor\) betegne det største heltallet som er mindre enn eller lik \(x\) får man at \[F(x)=P(X\leq x) = P(X\leq \lfloor x\rfloor) = F(\lfloor x\rfloor)\] når \(x\) ikke er et heltall og \(x\geq 1\), siden intervallet \((\lfloor x\rfloor,x)\) da ikke inneholder noen mulige verdier for \(X\). Dessuten, dersom \(x\) er et heltall større enn eller lik \(1\) er \(x=\lfloor x\rfloor\) slik at \(F(x)=F(\lfloor x\rfloor)\) gjelder også da. Dermed har vi
\[ \underline{\underline{F(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 - (1-p)^{\lfloor x\rfloor} & \mbox{for $x\geq 1$},\\ 0 & \mbox{ellers.}\end{array}\right.}} \]
Illustrasjon av løsningen
Figur 2 viser funksjonen \(F(x)\) når \(p=0.25.\)
Kommentar
Merk at \(F(x)\) er en trappefunksjon med trappetrinn i de mulige verdiene for \(X\), og at høyden på trappetrinnet i posisjon \(x\) er lik punktsannsynligheten \(f(x)\).