Fra \(F(x)\) til \(f(x)\) for diskret stokastisk variabel
Eksempel
Vi har en formulert en generell regneregel for sammenhengen mellom en fordeling \(f(x)\) og tilhørende kumulativ fordeling \(F(x).\) På denne siden anvendes denne regneregelen for en diskret stokastisk variabel til å finne punktsannsynligheten \(f(x)\) når kumulativ fordeling \(F(x)\) er kjent.
Finn punktsannsynlighet når kumulativ fordeling er oppgitt
Anta at \(X\) er en diskret stokastisk variabel med kumulativ fordeling
\[ F(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 - (1-p)^{\lfloor x\rfloor} & \mbox{for $x\geq 1$},\\ 0 & \mbox{ellers,}\end{array}\right. \]
der \(p\in (0,1)\) og \(\lfloor x\rfloor\) betegner det største heltallet som er mindre enn eller lik \(x.\)
Finn da punktsannsynligheten for \(X\), \(f(x).\)
Illustrasjon av \(F(x)\)
Figur 1 viser den oppgitte kumulative fordelingen når \(p=0.25.\)
Kommentar
Vi ser at \(F(x)\) har sprang i \(x=1,2,\ldots\). Dette betyr at de mulige verdiene for \(X\) kun er \(1,2,\ldots\) og dermed at punktsannsynligheten \(f(x)\) kun er definert for disse verdiene av \(x\).
Utregning
For å finne \(f(x)\) kan vi benytte oss av den generelle sammenhengen mellom \(f(x)\) og \(F(x)\). For \(x=1\) får vi
\[ \begin{align} f(1) &= F(1) - F(0) \\ &= \left( 1 - (1-p)^1\right) - 0\\ &= p, \end{align} \]
mens for \(x=2,3,\ldots\) får vi
\[ \begin{align} f(x) &= F(x) - F(x-1)\\ &= \left(1 - (1-p)^x\right) - \left(1 - (1-p)^{x-1}\right)\\ &=(1-p)^{x-1} - (1-p)^x\\ &= (1-p)^{x-1} (1 - (1 - p))\\ &= p(1-p)^{x-1}. \end{align} \]
Dette kan skrives i en felles formel som
\[ \underline{\underline{f(x)=p(1-p)^{x-1}~~\mbox{for $x=1,2,\ldots$}}} \]
Kommentar til løsningen
Fra formelen vi fant for punktsannsynligheten \(f(x)\) ser vi at \(X\) er geometrisk fordelt med parameter \(p.\)
Illustrasjon av løsningen
Figur 2 viser denne punktsannsynligheten \(f(x)\) når \(p=0.25.\)
Kommentar
Man kan merke seg at verdien \(f(x)\) er lik høyden til trappetrinnet i \(F(x)\) i posisjon \(x.\)