Kumulativ fordeling

Vi starter med å definere hva vi skal mene med kumulativ fordeling.

Notasjon

Det benyttes ulike notasjoner for kumulativ fordeling for en stokastisk variabel \(X\). De to mest vanlige er \(F(x)=P(X\leq x)\), som benyttes på denne siden, og \(F_X(x)=P(X\leq x)\). I notasjonen \(F_X(x)\) minner indeksen \(X\) oss på at dette er kumulativ fordeling for den stokastiske variabelen \(X\). I situasjoner hvor vi har flere stokastiske variabler kan det være nyttig å bruke en slik notasjon for å holde kumulativ fordeling for de ulike stokastiske variablene fra hverandre. Kumulkativ fordeling for tre stokastiske variabler \(X\), \(Y\) og \(Z\) vil da skrives som henholdsvis \(F_X(x)\), \(F_Y(y)\) og \(F_Z(z)\).

Kommentar

\(F(x)\) er en sannsynlighet og dermed må vi alltid ha at \(0\leq F(x)\leq 1\). Dessuten vil en kumulativ fordeling \(F(x)\) alltid være en voksende funksjon av \(x\).

For å visualisere en kumulativ fordeling er det vanlig å plotte \(F(x)\) som en vanlig matematisk funksjon. I figur 1 vises et eksempel på en kumulativ fordeling \(F(x)\) for en diskret stokastisk variabel \(X\), og i figur 2 vises et eksempel på en kumulativ fordeling \(F(x)\) for en kontinuerlig stokastisk variabel. Som vi ser i figur 1 er \(F(x)\) for en diskret stokastisk variabel \(X\) en trappefunksjon. Den har et trappetrinn i hver mulig verdi for \(X\) og høyden på trappetrinnet i en posisjon \(x\) er lik punktsannsynligheten \(f(x)\). Som vi ser i figur 2 er \(F(x)\) for en kontinuerlig stokastisk variabel \(X\) er kontinuerlig funksjon. For både diskrete og kontinuerlige stokastiske variabler har vi at \(F(x)\) er en voksende funksjon og at