Observator
Når vi har gjort observasjoner på et utvalg ønsker vi å benytte de målte verdiene til å si noe om den tilhørende populasjonen. I praksis betyr dette at vi bruker de observerte verdiene til å regne ut et tall som vi skal bruke til å beskrive populasjonen. Matematisk sett vil dette si at de observerte verdiene benyttes som argumenter i en funksjon, der verdien funksjonen får er verdien vi ønsker å regne ut. En slik funksjon er det sentrale elementet i det i kaller for en observator.
Observator
Her gir vi en definisjon av begrepet observator.
Kommentar til definisjonen
For at en funksjon av stokastiske variabler skal sies å være observerbar kreves det at man skal være i stand til å observere eller måle en tilhørende verdi. Dette betyr at når man har observert eller målt verdier for de stokastiske variablene skal man være i stand til å regne ut en tilhørende verdi for observatoren. Spesielt betyr dette at en observator ikke kan være en funksjon av en parameter som ikke har en kjent verdi.
Eksempler på observatorer
La \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) der \(n\geq 2\) være et tilfeldig utvalg.
- Gjennomsnitt er da observatoren \[\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\]
- Empirisk varians er da observatoren \[S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2.\]
- Empirisk standardavvik er da observatoren \[S = \sqrt{S^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}.\]
Flere kommentarer til definisjonen
Siden en observator er en funksjon av stokastiske variabler vil en observator også selv være en stokastisk variabel. Dermed vil en observator ha alle de egenskaper som en stokastisk variabel har, som for eksempel en sannsynlighetsfordeling, en forventningsverdi og en varians.
Etter at man har gjort observasjonene på utvalget, dvs observert verdier \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) for de stokastiske variablene \(X_1,X_2,\ldots,X_n\), kan man erstatte de stokastiske variablene i uttrykket for observatoren med tilhørende observerte verdier og regne ut en observert verdi også for observatoren. En observator er altså en størrelse man kan observere verdien til. Som nevnt over kan uttrykket for en observator ikke inneholde parametre som man ikke kjenner verdiene til.
Anvendelser av observatorer
Observatorer spiller en viktig rolle når man skal benytte observerte verdier til å skaffe informasjon om verdien til en ukjent parameter. En estimator er en observator, øvre og nedre grenser i en intervallestimator er observatorer, og testobservatorer som benyttes i forbindelse med hypotesetesting er også observatorer.