Kombinatorikk: Ordnet utvalg, trekning med tilbakelegging

Regneregel

Anta en urnemodell og at vi har \(n\) kuler i urna. På hvor mange måter kan vi da trekke \(r\) kuler når vi trekker kuler med tilbakelegging og tar hensyn til rekkefølgen kulene trekkes ut? Vi kan finne et generelt svar på dette spørsmålet ved å anvende den generelle multiplikasjonssetningen.

Ordnet utvalg, trekning med tilbakelegging

Vi starter med å formulere et teorem som gir svaret på spørsmålet stilt over.

Ordnet utvalg, trekning med tilbakelegging

For å bevise resultatet kan vi benytte multiplikasjonssetningen. Det finnes \( n\) mulige resultater i den første trekningen, et mulige resultat for hver kule i urna. I og med at vi trekker med tilbakelegging finnes for hvert mulig resultat i den første trekningen også \( n\) mulige resultater i den andre trekningen, igjen et mulig resultat for hver av de \( n\) kulene i urna. For den tredje trekningen blir det tilsvarende, for hvert mulig resultat av de to første trekningene finnes det \( n\) mulige resultat i den tredje trekningen. For de resterende trekningene blir situasjonen også den samme, i hver trekning er det \( n\) mulige resultat for hver kombinasjon av resultater i de tidligere trekningene. Fra muliplikasjonssetningen vet vi at vi får totalt antall resultater ved å gange sammen antall resultater for hver operasjon eller trekning, som her gir \( n^r.\)