Trekning av kuler uten tilbakelegging

Anta at man har en urne med \(20\) kuler. Av disse er \(9\) røde, \(6\) er blå og \(5\) er gule. Anta så at man trekker ut \(7\) av kulene, uten tilbakelegging mellom hver trekning. Vi er så interessert i sannsyligheten for at vi da trekker ut nøyaktig \(4\) røde kuler, nøyaktig \(3\) blå kuler og ingen gule kuler.

Merk at vi her ikke er interessert i hvilken rekkefølge vi har trukket ut kulene, vi er kun interessert i antall kuler vi har trukket ut av hver farge. Vi sier da at vi har et ikke-ordnet utvalg.

Utregning

Ved å tenke oss at alle kulene kan entydig identifiseres blir det like sannsynlig å trekke alle mulige utvalg av \(7\) kuler av de \(20\). Vi får da en uniform sannsynlighetsmodell. Videre lar vi \(A\) betegne hendelsen at vi trekker ut nøyaktig \(4\) røde og \(3\) blå kuler og ingen gule. I en uniform sannsynlighetsmodell har vi alltid at sannsynligheten for en hendelse \(A\) er gitt ved \[P(A) = \frac{g}{m},\] der \(g\) og \(m\) er henholdsvis antall gunstige og antall mulige trekninger, se temasiden «Sannsynligheter i en uniform sannsynlighetsmodell». For å finne \(P(A)\) trenger vi altså å finne \(g\) og \(m\). Det er vanlig å starte med \(m\) da denne stort sett alltid er enklest å bestemme.

Antall mulige utfall, \(m\), er antall måter man kan trekke ut \(7\) kuler fra \(20\), når kulene kan entydig identifiseres og man ikke tar hensyn til rekkefølgen. Vi har altså ikke-ordnet utvalg, trekning uten tilbakelegging, og vi får \[m = \binom{20}{7}.\]

For å finne antall gunstige utfall kan vi først finne antall måter å få riktig antall kuler av hver farge. For å få riktig antall røde kuler må vi trekke ut \(4\) røde kuler fra \(9\) røde kulene som er i urna, igjen når kulene kan entydig identifiseres og vi ikke tar hensyn til rekkefølgen. Vi har altså igjen ikke-ordnet utvalg, trekning uten tilbakelegging, og vi får at antall måter man kan trekke ut riktig antall røde kuler er \[g_R = \binom{9}{4}.\] Helt tilsvarende får vi at antall måter å trekke ut \(3\) blå kuler fra de \(6\) blå i urna blir \[g_B=\binom{6}{3},\] og antall måter å trekke ut \(0\) gule kuler fra de \(5\) gule kulene i urna blir \[g_G=\binom{5}{0}.\]

Vi kan da finne totalt antall gunstige utfall, \(g\), ved å observere at for hver av de \(g_R\) gunstige måtene å trekke de rød kule på finnes det \(g_B\) gunstige måter å trekke de blå kulene, og for hver av de gunstige måtene å trekke de røde og blå kulene finnes det \(g_G\) gunstige måter å trekke de gule kulene. Multiplikasjonssetningen gir da at totalt antall gunstige måter å trekke kulene på er \[g=g_R\cdot g_B\cdot g_G = \binom{9}{4}\cdot \binom{6}{3}\cdot \binom{5}{0}.\]

Sannsynligheten vi er interessert i blir altså \[P(A)=\frac{\binom{9}{4}\cdot\binom{6}{3}\cdot\binom{5}{0}}{\binom{20}{7}}.\]

Vi kan forenkle dette svaret ved å skrive ut binomialkoeffisientene ved hjelp av fakulteter, deretter forkorte, og så eventuelt regne ut et desimaltall til slutt,

Kommentar

I utregningen over har vi antatt at rekkefølgen kulene trekkes ut ikke har betydning. Siden rekkefølgen kulene trekkes ut ikke har noen betydning i situasjonen vi ser på, er det mest naturlig å anta dette også i utregningene. Men merk at vi i utregningene kunne ha valgt å si at rekkefølgen var viktig. I så fall måtte vi, i utregning av både \(m\) og \(g\), ha benyttet telleregelen for ordnet utvalg, trekning uten tilbakelegging. Vi ville da ha fått andre (større) verdier for \(g\) og \(m\), men brøken \(\frac{g}{m}\) ville blitt den samme.