Uavhengige hendelser
Vi har en intuitiv forståelse av hva uavhengighet betyr, og i noen situasjoner er det ganske opplagt at to hendelser \(A\) og \(B\) er uavhengige. Andre ganger er det vanskeligere å avgjøre om to hendelser \(A\) og \(B\) er uavhengige eller ei, og det er derfor viktig å ha en presis matematisk definisjon av hva vi skal mene med at to hendelser er uavhengige av hverandre.
Uavhengige hendelser
Vi starter med en definisjon av hva vi skal mene med at to hendelser \(A\) og \(B\) er uavhengige.
Tolkning av uavhengighet
Hvis hendelsene \( A\) og \( B\) er uavhengige vil altså tilleggsinformasjonen om at hendelsen \(A\) har skjedd ikke endre sannsynligheten for hendelsen \(B\).
Kommentar til definisjonen
Kravet \(P(B|A)=P(B)\) gitt i definisjonen over er det kanskje mest naturlig å lese som at \(«B\) er uavhengig av \(A»\), men man bør merke seg at uavhengighet faktisk er en symmetrisk egenskap, i den forstand at \( «B\) er uavhengig av \( A»\) hvis og bare hvis \(«A\) er uavhengig av \(B»\). Matematisk kan dette uttrykkes som \[P(B|A)=P(B) \Leftrightarrow P(A|B)=P(A).\] For å se hvorfor dette er korrekt er det naturlig å starte med \( P(A|B)\) og så benytte definisjonen av betinget sannsynlighet og multiplikasjonssetningen, \[P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}.\] Dermed får vi at
\[ \begin{align} P(B|A)=P(B) \Rightarrow P(A|B) &= \frac{P(B)P(A)}{P(B)}\\ &= P(A), \end{align} \]
og den motsatte implikasjonen får man ved å ta utgangspunkt i \( P(B|A)\) og regne tilsvarende.