Sannsynlighet for union av hendelser

Regneregel

En union av to eller flere hendelser er igjen en hendelse. Man kan dermed spørre om sannsynligheten for denne nye hendelsen. Vi formulerer på denne siden en generell regneregel for sannsynligheten for en union av to hendelser og diskuterer kort hvordan man tilsvarende kan finne regler for sannsynligheten for en union av tre eller flere hendelser.

Sannsynlighet for union av hendelser

Følgende teorem angir hvordan man kan regne ut sannsynligheten for unionen av to hendelser.

Sannsynlighet for union av hendelser

Definer hendelsene \( C_1 = A\setminus B\), \( C_2=A\cap B\) og \(C_3= B\setminus A.\) Tegn gjerne opp hendelsene \(A, B, C_1, C_2\) og \(C_3\) i et venndiagram for å få oversikt over situasjonen.

Hendelsene \( C_1\), \( C_2\) og \( C_3\) er åpenbart parvis disjunkte og dessuten har vi at \( A\cup B = C_1\cup C_2\cup C_3\). Fra definisjonen av sannsynlighet har vi da \[P(A\cup B) = P(C_1\cup C_2\cup C_3) = P(C_1)+P(C_2)+P(C_3) = P(A\setminus B) + P(A\cap B) + P(B\setminus A).\] Dessuten har vi at \( A = C_1 \cup C_2\), og siden \( C_1\) og \( C_2\) er disjunkte har vi \[P(A) = P(C_1\cup C_2) = P(A\setminus B) + P(A\cap B) \Rightarrow P(A\setminus B) = P(A) - P(A\cap B).\] Tilsvarende har vi at \( B = C_2 \cup C_3\), og siden \( C_2\) og \( C_3\) er disjunkte får vi \[P(B) = P(C_2\cup C_3) = P(A\cap B) + P(B\setminus A) \Rightarrow P(B\setminus A) = P(A) - P(A\cap B).\] Sett så inn uttrykkene vi har funnet for \( P(A\setminus B)\) og \( P(B\setminus A)\) inn i ligningen vi fant for \( P(A\cup B)\) over. Vi får da \[P(A\cup B) = (P(A) - P(A\cap B)) + P(A\cap B) + (P(A) - P(A\cap B))= P(A) + P(B) - P(A\cap B),\]og teoremet er dermed bevist

Uformelt bevis

Et uformelt bevis får man ved å tolke sannsynlighet for en hendelse som arealet av denne hendelsen i et venndiagram. Hvis vi regner ut \( \text{areal}(A) + \text{areal}(B)\) for hendelsene \(A\) og \(B\) i figur 1 ser vi at vi har regnet med arealet av \( A\cap B\) to ganger. Arealet av \( A\cup B\) kan dermed åpenbart skrives som

\[ \begin{align} \text{areal}(A\cup B) &= \text{areal}(A)+\text{areal}(B)\\ &- \text{areal}(A\cap B). \end{align} \]

Ved å erstatte \( \text{areal}()\) med \( P()\) får vi regnereglen. Merk at man ved å bruke analogien mellom sannsynlighet og areal i venndiagram tilsvarende kan utlede formler for sannsynligheten for en union av tre eller flere hendelser.

Figur 1: Venndiagram som illustrerer regneregelen \(P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\).

Union av disjunkte hendelser

Dersom hendelsene \( A\) og \( B\) er disjunkte vil \( P(A\cap B) = 0\) og man får et spesialtilfelle av teoremet over, \[P(A\cup B) = P(A) + P(B).\] Denne situasjonen er illustrert i figur 2.