Enkel bruk av setningen om total sannsynlighet

Eksempel

I setningen om total sannsynlighet forutsetter man at man har en partisjon \(B_1,B_2,\ldots,B_n\) av \(S\). Når man leser teoremet kan man kanskje fort se for seg at antall elementer i partisjonen, \(n\), er ganske stort. Det er viktig å merke seg at \(n\) ikke trenger å være stor. For at teoremet skal gi mening trenger man bare \(n\geq 2\). Under formuleres et problem hvor setningen kan benyttes for \(n=2.\)

Finne \(P(A)\) når man kjenner \(P(B)\), \(P(A|B)\) og \(P(A|B^\prime)\)

Anta at vi har to hendelser \(A\) og \(B\) i et utfallsrom \(S\), og at vi har fått oppgitt sannsynlighetene

\[ \begin{align} P(B)&=0.4,\\ P(A|B)&=0.35,\\ P(A|B^\prime)&=0.1. \end{align} \]

Hva er da \(P(A)\)?

Illustrasjon

For å få oversikt over situasjonen er det i slike oppgaver lurt å starte med å illustrere situasjonen i et venndiagram. For situasjonen beskrevet over er dette gjort i figur 1.

Figur 1: Illustrasjon av situasjonen ved et venndiagram.

Utregning

Ved å observere at \(B_1=B\) og \(B_2=B^\prime\) er en partisjon av \(S\) (dvs \(B_1\cap B_2=\emptyset\) og \(B_1\cup B_2=S\)) får man ved å benytte setningen om total sannsynlighet, med \(n=2\), at

\[ \begin{align} P(A) &= \sum_{i=1}^2 P(A|B_i)P(B_i) \\ &=P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2)\\ &=P(A|B)P(B) + P(A|B^\prime)P(B^\prime). \end{align} \]

Her har vi oppgitt verdier for sannsynlighetene \(P(A|B), P(B)\) og \(P(A|B^\prime)\), men ikke for \(P(B^\prime)\). Siden \((B^\prime)^\prime = B\) kan vi finne sannsynligheten \(P(B^\prime)\) ved hjelp av komplementærsetningen

\[ P(B^\prime) = 1 - P(B). \]

Dermed har vi at

\[ \begin{align} P(A) &= P(A|B)P(B) + P(A|B^\prime)P(B^\prime)\\ &= P(A|B)P(B) + P(A|B^\prime)(1-P(B)\\ &= 0.35\cdot 0.4 + 0.1\cdot (1-0.4)\\ &= \underline{\underline{0.2}}. \end{align} \]