Processing math: 100%

Enkel bruk av setningen om total sannsynlighet

Eksempel

I setningen om total sannsynlighet forutsetter man at man har en partisjon B1,B2,,Bn av S. Når man leser teoremet kan man kanskje fort se for seg at antall elementer i partisjonen, n, er ganske stort. Det er viktig å merke seg at n ikke trenger å være stor. For at teoremet skal gi mening trenger man bare n2. Under formuleres et problem hvor setningen kan benyttes for n=2.

Finne P(A) når man kjenner P(B), P(A|B) og P(A|B)

Anta at vi har to hendelser A og B i et utfallsrom S, og at vi har fått oppgitt sannsynlighetene

P(B)=0.4,P(A|B)=0.35,P(A|B)=0.1.

Hva er da P(A)?

Illustrasjon

For å få oversikt over situasjonen er det i slike oppgaver lurt å starte med å illustrere situasjonen i et venndiagram. For situasjonen beskrevet over er dette gjort i figur 1.

Figur 1: Illustrasjon av situasjonen ved et venndiagram.

Utregning

Ved å observere at B1=B og B2=B er en partisjon av S (dvs B1B2= og B1B2=S) får man ved å benytte setningen om total sannsynlighet, med n=2, at

P(A)=2i=1P(A|Bi)P(Bi)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)=P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B).

Her har vi oppgitt verdier for sannsynlighetene P(A|B),P(B) og P(A|B), men ikke for P(B). Siden (B)=B kan vi finne sannsynligheten P(B) ved hjelp av komplementærsetningen

P(B)=1P(B).

Dermed har vi at

P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)=P(A|B)P(B)+P(A|B)(1P(B)=0.350.4+0.1(10.4)=0.2__.