Enkel bruk av setningen om total sannsynlighet
Eksempel
I setningen om total sannsynlighet forutsetter man at man har en partisjon B1,B2,…,Bn av S. Når man leser teoremet kan man kanskje fort se for seg at antall elementer i partisjonen, n, er ganske stort. Det er viktig å merke seg at n ikke trenger å være stor. For at teoremet skal gi mening trenger man bare n≥2. Under formuleres et problem hvor setningen kan benyttes for n=2.
Finne P(A) når man kjenner P(B), P(A|B) og P(A|B′)
Anta at vi har to hendelser A og B i et utfallsrom S, og at vi har fått oppgitt sannsynlighetene
P(B)=0.4,P(A|B)=0.35,P(A|B′)=0.1.
Hva er da P(A)?
Illustrasjon
For å få oversikt over situasjonen er det i slike oppgaver lurt å starte med å illustrere situasjonen i et venndiagram. For situasjonen beskrevet over er dette gjort i figur 1.
Utregning
Ved å observere at B1=B og B2=B′ er en partisjon av S (dvs B1∩B2=∅ og B1∪B2=S) får man ved å benytte setningen om total sannsynlighet, med n=2, at
P(A)=2∑i=1P(A|Bi)P(Bi)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)=P(A|B)P(B)+P(A|B′)P(B′).
Her har vi oppgitt verdier for sannsynlighetene P(A|B),P(B) og P(A|B′), men ikke for P(B′). Siden (B′)′=B kan vi finne sannsynligheten P(B′) ved hjelp av komplementærsetningen
P(B′)=1−P(B).
Dermed har vi at
P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B′)P(B′)=P(A|B)P(B)+P(A|B′)(1−P(B)=0.35⋅0.4+0.1⋅(1−0.4)=0.2__.