Enkel bruk av setningen om total sannsynlighet

Eksempel

I setningen om total sannsynlighet forutsetter man at man har en partisjon $B_1,B_2,\ldots,B_n$ av $S$ . Når man leser teoremet kan man kanskje fort se for seg at antall elementer i partisjonen, $n$ , er ganske stort. Det er viktig å merke seg at $n$ ikke trenger å være stor. For at teoremet skal gi mening trenger man bare $n\geq 2$ . Under formuleres et problem hvor setningen kan benyttes for $n=2.$

Finne $P(A)$ når man kjenner $P(B)$ , $P(A|B)$ og $P(A|B^\prime)$

Anta at vi har to hendelser $A$ og $B$ i et utfallsrom $S$ , og at vi har fått oppgitt sannsynlighetene

$\begin{align} P(B)&=0.4,\\ P(A|B)&=0.35,\\ P(A|B^\prime)&=0.1. \end{align}$

Hva er da $P(A)$ ?

Illustrasjon

For å få oversikt over situasjonen er det i slike oppgaver lurt å starte med å illustrere situasjonen i et venndiagram. For situasjonen beskrevet over er dette gjort i figur 1.

Utregning

Ved å observere at $B_1=B$ og $B_2=B^\prime$ er en partisjon av $S$ (dvs $B_1\cap B_2=\emptyset$ og $B_1\cup B_2=S$ ) får man ved å benytte setningen om total sannsynlighet, med $n=2$ , at

$\begin{align} P(A) &= \sum_{i=1}^2 P(A|B_i)P(B_i) \\ &=P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2)\\ &=P(A|B)P(B) + P(A|B^\prime)P(B^\prime). \end{align}$

Her har vi oppgitt verdier for sannsynlighetene $P(A|B), P(B)$ og $P(A|B^\prime)$ , men ikke for $P(B^\prime)$ . Siden $(B^\prime)^\prime = B$ kan vi finne sannsynligheten $P(B^\prime)$ ved hjelp av komplementærsetningen

$P(B^\prime) = 1 - P(B).$

Dermed har vi at

$\begin{align} P(A) &= P(A|B)P(B) + P(A|B^\prime)P(B^\prime)\\ &= P(A|B)P(B) + P(A|B^\prime)(1-P(B)\\ &= 0.35\cdot 0.4 + 0.1\cdot (1-0.4)\\ &= \underline{\underline{0.2}}. \end{align}$

Finne P(A)P(A) når man kjenner P(B)P(B), P(A|B)P(A|B) og P(A|B′)P(A|B^\prime)

Illustrasjon

Utregning

Finne $P(A)$ når man kjenner $P(B)$ , $P(A|B)$ og $P(A|B^\prime)$