Fordeling av ekstremvariabler av uavhengige og identisk fordelte variabler

Regneregel

Anta at vi har \(n\) uavhengige stokastiske variabler \(X_1,X_2,\ldots,X_n.\) Tilhørende ekstremvariabler er da definert som \(X_{(1)}=\min\{X_1,X_2,\ldots,X_n\}\) og \(X_{(n)}=\max\{X_1,X_2,\ldots,X_n\},\) altså henholdsvis den minste verdien og den største verdien blant \(X_1,X_2,\ldots,X_n.\)

På temasiden du ser på nå skal vi i tillegg til å anta at \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er uavhengige, også anta at de alle har samme sannsynlighetsfordeling. Da sier man at \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er et tilfeldig utvalg, og man kan relativt enkelt regne seg frem til sannsynlighetsfordelingene til \(X_{(1)}\) og \(X_{(n)}.\)

Fordeling av ekstremvariabler av uavhengige og identisk fordelte variabler

Vi starter med å formulere et teorem som gir fordelingene til ekstremvariablene \(X_{(1)}\) og \(X_{(n)}.\)

Fordeling av ekstremvariabler av uavhengige og identisk fordelte variabler

La \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) være uavhengige stokastiske variabler, alle med samme sannsynlighetsfordeling \(f_X(x)\) og kumulativ sannsynlighetsfordeling \(F_X(x)\). De kumulativ sannsynlighetsfordeling for \(X_{(1)}\) og \(X_{(n)}\) er da henholdsvis \[F_{X_{(1)}}(x) = P(X_{(1)} \leq x) = 1 - \left( 1 - F_X(x)\right)^n\] og \[F_{X_{(n)}}(x) = P(X_{(n)} \leq x) = \left( F_X(x)\right)^n.\]

Dersom \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er kontinuerlige stokastiske variabler er sannsynlighetstetthetene til \(X_{(1)}\) og \(X_{(n)}\) henholdsvis \[f_{X_{(1)}}(x) = n \left( 1 - F_X(x)\right)^{n-1} f_X(x)\] og \[f_{X_{(n)}}(x) = n\left( F_X(x)\right)^{n-1} f_X(x).\]

Fordeling av ekstremvariabler av uavhengige og identisk fordelte variabler

Vi starter med å bevise formlene relatert til \(X_{(n)},\) da det er et lite hakk enklere å bevise disse enn å bevise formlene relatert til \(X_{(1)}.\)

Bevis av formel for \(F_{X_{(n)}}(x)\): Vi har åpenbart at den største av \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er mindre enn eller lik et tall \(x\) hvis og bare hvis alle \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er mindre enn eller lik \(x\). Matematisk kan dette uttrykkes som \[X_{(n)} = \max\{X_1,X_2,\ldots,X_n\} \leq x\]\[\Updownarrow\]\[X_1\leq x \cap X_2\leq x\cap \ldots \cap X_n\leq x.\] Dermed må vi også ha at \begin{align}&P(X_{(n)}\leq x)\\ &~~~~= P(X_1\leq x \cap X_2\leq x\cap \ldots\cap X_n\leq x).\end{align} Ved å benytte dette og at \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er uavhengige får vi \begin{align}&F_{X_{(n)}}(x) = P(X_{(n)}\leq x)\\ &= P(X_1\leq x \cap X_2\leq x\cap \ldots\cap X_n\leq x)\\ &= P(X_1\leq x)\cdot P(X_2\leq x)\cdot\ldots\cdot P(X_n\leq x).\end{align} Siden kumulativ fordelingsfunksjon for alle \(X_i\)-ene er \(F_X(x)\) har vi \(P(X_i\leq x) = F_X(x)\) for alle \(i\) slik at vi får \begin{align}F_{X_{(n)}}(x) &= F_X(x)\cdot F_X(x)\cdot\ldots\cdot F_X(x)\\ &= \left(F_X(x)\right)^n\end{align} som var det vi skulle bevise.

Bevis av formel for \(f_{X_{(n)}}(x)\): Dersom \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er kontinuerlige stokastiske variabler finner vi sannsynlighetstettheten til \(X_{(n)}\) ved å derivere \(F_{X_{(n)}}(x)\) med hensyn på \(x\). Vi kan derivere \(F_{X_{(n)}}(x)\) ved å bruke kjerneregelen, \begin{align}f_{X_{(n)}}(x) &= F_{X_{(n)}}^\prime(x)\\ &= n\left( F_X(x)\right)^{n-1} F_X^\prime(x)\\ &= n\left( F_X(x)\right)^{n-1} f_X(x)\end{align} der vi i den siste overgangen benytter at for en kontinuerlig stokastisk variabel \(X\) er alltid \(F_X^\prime (x)=f_X(x)\). Dermed er også uttrykket gitt i teoremet for \(f_{X_{(n)}}(x)\) bevist.

Bevis av formel for \(F_{X_{(1)}}(x)\): Vi har åpenbart at den minste av \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er ekte større enn et tall \(x\) hvis og bare hvis alle \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er ekte større enn lik \(x\). Matematisk kan dette uttrykkes som \[X_{(1)} = \min\{ X_1,X_2,\ldots,X_n\} > x\]\[\Updownarrow\]\[X_1 > x \cap X_2> x\cap \ldots \cap X_n> x.\] Dermed må vi også ha at \begin{align}&P(X_{(1)}> x)\\&~~~~ = P(X_1> x \cap X_2> x\cap \ldots\cap X_n> x).\end{align} Ved å benytte dette, komplementærsetningen og at \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er uavhengige får vi \begin{align} &F_{X_{(1)}}(x) = P(X_{(1)}\leq x)\\ &= 1-P(X_{(1)}>x)\\ &= 1-P(X_1> x \cap X_2> x\cap \ldots\cap X_n> x)\\ &= 1-P(X_1>x)\cdot P(X_2>x)\\ &~~~~~~\cdot\ldots\cdot P(X_n>x)\\ &= 1-(1-P(X_1\leq x))\cdot (1-P(X_2\leq x))\\ &~~~~~~\cdot \ldots\cdot (1-P(X_n\leq x)).\end{align} Siden kumulativ fordelingsfunksjon for alle \(X_i\)-ene er \(F_X(x)\) har vi tilsvarende som for \(X_{(n)}\) over at \(P(X_i\leq x) = F_X(x)\) for alle \(i\) slik at vi får \begin{align}&F_{X_{(1)}}(x)\\ &= 1 - \left(1-F_X(x)\right)\cdot \left(1-F_X(x)\right)\\ &~~~~\cdot \ldots \cdot \left(1-F_X(x)\right)\\ &= 1- \left(1-F_X(x)\right)^{n}\end{align} som var det vi skulle bevise.

Bevis av formel for \(f_{X_{(1)}}(x)\): Dersom \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) er kontinuerlige stokastiske variabler finner vi sannsynlighetstettheten til \(X_{(1)}\) ved å derivere \(F_{X_{(1)}}(x)\). Tilsvarende som for \(f_{X_{(n)}}(x)\) over kan vi derivere \(F_{X_{(1)}}(x)\) ved å bruke kjerneregelen, \begin{align}f_{X_{(1)}}(x) &= F_{X_{(1)}}^\prime(x)\\ &= - n\left( 1-F_X(x)\right)^{n-1} \cdot \left(- F_X^\prime(x)\right)\\ &= n\left(1-F_X(x)\right)^{n-1}f_X(x),\end{align} der vi i den siste overgangen igjen benytter at for en kontinuerlig stokastisk variabel \(X\) er alltid \(F_X^\prime (x)=f_X(x)\). Dermed er også uttrykket gitt i teoremet for \(f_{X_{(1)}}(x)\) bevist.

Illustrasjon

Ved å plotte \(f_X(x)\) sammen med tilhørende fordelinger for \(X_{(1)}\) og \(X_{(n)}\) kan man få en bedre forståelse av sammenhengen mellom disse fordelingene. I figur 1 til 4 er dette gjort for to valg av \(f_X(x)\). I figur 1 og 2 har man antatt at \(X_i\)-ene er standard-normalfordelte. Plottet i figur 1 viser hvordan sannsynlighetsfordelingene blir når \(n=3\), mens \(n=10\) er benyttet i figur 2. Sannsynlighetstettheten \(f_X(x)\) er vist i svart, mens \(f_{X_{(1)}}(x)\) og \(f_{X_{(n)}}(x)\) er vist i henholdvis rødt og blått. Som man skulle forvente ser man at sannsynlighetsmassene i \(f_{X_{(1)}}(x)\) og \(f_{X_{(n)}}(x)\) er forskjøvet mot henholdsvis venstre og høyre i forhold til sannsynlighetsmassen til \(f_X(x)\), og at denne effekten er sterkere når \(n\) er stor.

Figur 1: Sannsynlighetstettheten til en standard normalfordeling i svart, og sannsynlighetstetthetene til de tilhørende ekstremvariablene \(X_{(1)}\) og \(X_{(n)}\) når \(n=3\) i henholdsvis rødt og blått.

Figur 2: Sannsynlighetstettheten til en standard normalfordeling i svart, og sannsynlighetstetthetene til de tilhørende ekstremvariablene \(X_{(1)}\) og \(X_{(n)}\) når \(n=10\) i henholdsvis rødt og blått.

Figur 3 og 4 viser situasjonen når \(X_i\)-ene er eksponensialfordelt med parameter \(\lambda=1\), med \(n=3\) og \(n=10\) i henholdsvis figur 3 og 4. Sannsynlighetstetthetene \(f_X(x)\), \(f_{X_{(1)}}(x)\) og \(f_{X_{(n)}}(x)\) er igjen vist i henholdvis svart, rødt og blått. Også her ser vi hvordan sannsynlighetsmassene i \(f_{X_{(1)}}(x)\) og \(f_{X_{(n)}}(x)\) er forskjøvet mot henholdsvis venstre og høyre i forhold til sannsynlighetsmassen til \(f_X(x)\).