Varians

Vi starter med å gi en matematisk definisjon av begrepet varians.

Notasjon

Det benyttes ulike notasjoner for variansen til en stokastisk variabel \(X\). Den mest vanlige er \(\text{Var}[X]\) som benyttes i definisjonen over. Symbolet \(\sigma^2\) er også mye benyttet, eventuelt \(\sigma^2_X\) der indeksen angir hvilken stokastisk variabel \(\sigma^2_X\) er variansen til.

Tolkning av varians

Verdien til variansen har ikke en like klar tolkning som for forventningsverdien. Variansen er et mål på hvor mye observert verdi for \(X\) vil variere dersom man gjentar det stokastiske forsøket som den stokastiske variabelen \(X\) er definert ut fra. Dersom man for to stokastiske variabler \(X\) og \(Y\) har at \(\text{Var}[X] > \mbox{Var}[Y]\) vil altså verdien til \(Y\) variere mindre enn verdien til \(X\) når man gjentar det eller de stokastiske forsøkene som definerer \(X\) og \(Y\).

Kommentarer

Man kan merke seg at variansen er definert som forventningsverdien til noe opphøyd i andre. Siden noe opphøyd i andre alltid vil være større enn eller lik null, kan en varians aldri være negativ.

Merk også at variansen til \(X\), \(\text{Var}[X]\), ikke har samme enhet som \(X\). Dersom for eksempel \(X\) måles i meter (\(m\)) vil \(\text{Var}[X]\) måles i \(m^2\). Det er derfor ikke rimelig å sammenligne en verdi av \(X\) med verdien til \(\text{Var}[X]\). For å få et tall som er sammenlignbart med \(X\) kan man ta kvadratroten av \(\text{Var}[X]\). Tallet man da får kalles standardavviket til \(X\).

\(\text{Var}[X]\) er definert som en forventningsverdi. Ut fra definisjonen av varians og regneregler for forventningsverdi kan man derfor utlede ulike regneregler for varians. Link til temasider hvor disse regnereglene er formulert og diskutert finnes under «Regneregler» nederst på denne siden.